Calcul infinitésimal Exemples

$y = t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{7}$ et $g (t) = {(t^{5} - 6)}^{3}$ .

$t^{7} \frac{d}{d t} [{(t^{5} - 6)}^{3}] + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = t^{5} - 6$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{5} - 6$ .

$t^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$t^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{5} - 6$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{5} - 6$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6]$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.3.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $t$ est $0$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + 0)) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $5 t^{4}$ et $0$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4})) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2} t^{4}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.4

Multipliez $t^{7}$ par $t^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $t^{4}$ .

$t^{4} t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$t^{4 + 7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.4.3

Additionnez $4$ et $7$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} (7 t^{6})$

Étape 3.6

Déplacez $7$ à gauche de ${(t^{5} - 6)}^{3}$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 \cdot {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Factorisez $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ à partir de $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ .

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Étape 3.7.1.1

Factorisez $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ à partir de $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2})$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

Étape 3.7.1.2

Factorisez $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ à partir de $7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.1.3

Factorisez $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ à partir de $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15) + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.2

Déplacez $15$ à gauche de $t^{5}$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.3

Réécrivez ${(t^{5} - 6)}^{2}$ comme $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ .

$t^{6} ((t^{5} - 6) (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.4

Développez $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$t^{6} (t^{5} (t^{5} - 6) - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.7.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.5.1.1

Multipliez $t^{5}$ par $t^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$t^{6} (t^{5 + 5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.5.1.1.2

Additionnez $5$ et $5$ .

$t^{6} (t^{10} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.5.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $t^{5}$ .

$t^{6} (t^{10} - 6 \cdot t^{5} - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.5.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$t^{6} (t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.5.2

Soustrayez $6 t^{5}$ de $- 6 t^{5}$ .

$t^{6} (t^{10} - 12 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$(t^{6} t^{10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.7

Simplifiez

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Étape 3.7.7.1

Multipliez $t^{6}$ par $t^{10}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.7.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(t^{6 + 10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.7.1.2

Additionnez $6$ et $10$ .

$(t^{16} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.7.3

Déplacez $36$ à gauche de $t^{6}$ .

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.8

Multipliez $t^{6}$ par $t^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.8.1

Déplacez $t^{5}$ .

$(t^{16} - 12 (t^{5} t^{6}) + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(t^{16} - 12 t^{5 + 6} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.8.3

Additionnez $5$ et $6$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Étape 3.7.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} + 7 \cdot - 6)$

Étape 3.7.9.2

Multipliez $7$ par $- 6$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} - 42)$

Étape 3.7.10

Additionnez $15 t^{5}$ et $7 t^{5}$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$

Étape 3.7.11

Développez $(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$t^{16} (22 t^{5}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$22 t^{16} t^{5} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.2

Multipliez $t^{16}$ par $t^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.12.2.1

Déplacez $t^{5}$ .

$22 (t^{5} t^{16}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$22 t^{5 + 16} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.2.3

Additionnez $5$ et $16$ .

$22 t^{21} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.3

Déplacez $- 42$ à gauche de $t^{16}$ .

$22 t^{21} - 42 \cdot t^{16} - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{11} t^{5} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.5

Multipliez $t^{11}$ par $t^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.12.5.1

Déplacez $t^{5}$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 (t^{5} t^{11}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{5 + 11} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.5.3

Additionnez $5$ et $11$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.6

Multipliez $- 12$ par $22$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.7

Multipliez $- 42$ par $- 12$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{6} t^{5} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.9

Multipliez $t^{6}$ par $t^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.12.9.1

Déplacez $t^{5}$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 (t^{5} t^{6}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{5 + 6} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.9.3

Additionnez $5$ et $6$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.10

Multipliez $36$ par $22$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Étape 3.7.12.11

Multipliez $- 42$ par $36$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

Étape 3.7.13

Soustrayez $264 t^{16}$ de $- 42 t^{16}$ .

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

Étape 3.7.14

Additionnez $504 t^{11}$ et $792 t^{11}$ .

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$