Calcul infinitésimal Exemples

$y = \log_{5} (x - 1) - 1$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\log_{5} (x - 1) - 1$ est indéfinie.

$x \leq 1$

Étape 1.2

Comme $\log_{5} (x - 1) - 1$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la gauche et $\log_{5} (x - 1) - 1$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la droite, $x = 1$ est une asymptote verticale.

$x = 1$

Étape 1.3

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.4

Il n’y a pas d’asymptote horizontale car $Q (x)$ est $1$ .

Aucune asymptote horizontale

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes verticales : $x = 1$

Aucune asymptote horizontale

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \log_{5} ((2) - 1) - 1$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = \log_{5} (1) - 1$

Étape 2.2.1.2

La base logarithmique $5$ de $1$ est $0$ .

$f (2) = 0 - 1$

Étape 2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (2) = - 1$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 2.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$y = - 1$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 6$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = \log_{5} ((6) - 1) - 1$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f (6) = \log_{5} (5) - 1$

Étape 3.2.1.2

La base logarithmique $5$ de $5$ est $1$ .

$f (6) = 1 - 1$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (6) = 0$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.3

Convertissez $0$ en décimale.

$y = 0$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \log_{5} ((3) - 1) - 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (3) = \log_{5} (2) - 1$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $\log_{5} (2) - 1$ .

$\log_{5} (2) - 1$

Étape 4.3

Convertissez $\log_{5} (2) - 1$ en décimale.

$y = - 0.56932344$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 1$ et les points $(2, - 1), (6, 0), (3, - 0.56932344)$ .

Asymptote verticale : $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 1 \\ 3 & - 0.569 \\ 6 & 0 \end{array}$

Étape 6