Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \log_{3} (x + 1) + 1$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\log_{3} ({(x + 1)}^{4}) + 1$ est indéfinie.

$x = - 1$

Étape 1.2

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.3

Il n’y a pas d’asymptote horizontale car $Q (x)$ est $1$ .

Aucune asymptote horizontale

Étape 1.4

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.5

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes verticales : $x = - 1$

Aucune asymptote horizontale

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 4 \log_{3} ((0) + 1) + 1$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 4 \log_{3} (1) + 1$

Étape 2.2.1.2

La base logarithmique $3$ de $1$ est $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 + 1$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.3

Convertissez $1$ en décimale.

$y = 1$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 4 \log_{3} ((2) + 1) + 1$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (2) = 4 \log_{3} (3) + 1$

Étape 3.2.1.2

La base logarithmique $3$ de $3$ est $1$ .

$f (2) = 4 \cdot 1 + 1$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (2) = 4 + 1$

Étape 3.2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (2) = 5$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 3.3

Convertissez $5$ en décimale.

$y = 5$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 8$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = 4 \log_{3} ((8) + 1) + 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$f (8) = 4 \log_{3} (9) + 1$

Étape 4.2.1.2

La base logarithmique $3$ de $9$ est $2$ .

$f (8) = 4 \cdot 2 + 1$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (8) = 8 + 1$

Étape 4.2.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$f (8) = 9$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 4.3

Convertissez $9$ en décimale.

$y = 9$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = - 1$ et les points $(0, 1), (2, 5), (8, 9)$ .

Asymptote verticale : $x = - 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 1 \\ 2 & 5 \\ 8 & 9 \end{array}$

Étape 6