Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{5 x^{2} - 22 x + 8}{2 x^{3} - 7 x - 4}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 5 x^{2} - 22 x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 5 x^{2} - lim_{x \to 4} 22 x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Étape 3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 22 x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 22 x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Étape 5

Placez le terme $22$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Étape 6

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - lim_{x \to 4} 7 x - lim_{x \to 4} 4}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{2 lim_{x \to 4} x^{3} - lim_{x \to 4} 7 x - lim_{x \to 4} 4}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - lim_{x \to 4} 7 x - lim_{x \to 4} 4}$

Étape 10

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Étape 11

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{2 \cdot 4^{3} - 7 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Étape 12.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{2 \cdot 4^{3} - 7 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun à $5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8$ et $2 \cdot 4^{3} - 7 \cdot 4 - 1 \cdot 4$ .

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Étape 13.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \cdot 4^{3}$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- (- 2 \cdot 4^{3}) - 7 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

Étape 13.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 \cdot 4$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- (- 2 \cdot 4^{3}) - (7 \cdot 4) - 1 \cdot 4}$

Étape 13.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 \cdot 4^{3}) - (7 \cdot 4)$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4) - 1 \cdot 4}$

Étape 13.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 4$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4) - 1 (4)}$

Étape 13.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4) - 1 (4)$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Étape 13.1.6

Réécrivez $- (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)$ comme $- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Étape 13.1.7

Factorisez $4$ à partir de $5 \cdot 4^{2}$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4) - 22 \cdot 4 + 8}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Étape 13.1.8

Factorisez $4$ à partir de $- 22 \cdot 4$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4) + 4 \cdot - 22 + 8}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Étape 13.1.9

Factorisez $4$ à partir de $4 (5 \cdot 4) + 4 \cdot - 22$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4 - 22) + 8}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Étape 13.1.10

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4 - 22) + 4 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Étape 13.1.11

Factorisez $4$ à partir de $4 (5 \cdot 4 - 22) + 4 (2)$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4 - 22 + 2)}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Étape 13.1.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.12.1

Factorisez $4$ à partir de $- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4 - 22 + 2)}{4 (- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1))}$

Étape 13.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (5 \cdot 4 - 22 + 2)}{4 (- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1))}$

Étape 13.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \cdot 4 - 22 + 2}{- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1)}$

Étape 13.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20 - 22 + 2}{- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1)}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $22$ de $20$ .

$\frac{- 2 + 2}{- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1)}$

Étape 13.2.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1)}$

Étape 13.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{- 1 (- 2 \cdot 16 + 7 + 1)}$

Étape 13.3.2

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$\frac{0}{- 1 (- 32 + 7 + 1)}$

Étape 13.3.3

Additionnez $- 32$ et $7$ .

$\frac{0}{- 1 (- 25 + 1)}$

Étape 13.3.4

Additionnez $- 25$ et $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot - 24}$

Étape 13.4

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$\frac{0}{24}$

Étape 13.5

Divisez $0$ par $24$ .

$0$