Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x - 36 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 12 x - 36$ .

$3 x^{2} - 12 x - 36$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 12 x - 36 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 36 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 12 x - 36$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 36 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 36 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 36$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 12 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 12 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 12$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 12) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 6) (x + 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 6) (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 6) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 6, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $6$ .

${(6)}^{3} - 6 {(6)}^{2} - 36 \cdot 6$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$216 - 6 {(6)}^{2} - 36 \cdot 6$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$216 - 6 \cdot 36 - 36 \cdot 6$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $36$ .

$216 - 216 - 36 \cdot 6$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $6$ .

$216 - 216 - 216$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $216$ de $216$ .

$0 - 216$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $216$ de $0$ .

$- 216$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 - 36 \cdot - 2$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$- 8 - 24 - 36 \cdot - 2$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $- 2$ .

$- 8 - 24 + 72$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $24$ de $- 8$ .

$- 32 + 72$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 32$ et $72$ .

$40$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(6, - 216), (- 2, 40)$

Étape 5