Calcul infinitésimal Exemples

$- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x^{3}$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $28$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 60 (2 x)$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 60$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 84 x^{2} - 120 x$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 120 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$- 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [84 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $84$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $84 x^{2}$ par rapport à $x$ est $84 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 36 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 36 x^{2} + 84 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $2$ par $84$ .

$- 36 x^{2} + 168 x + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Étape 2.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

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Étape 2.2.4.1

Comme $- 120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 120 x$ par rapport à $x$ est $- 120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 \cdot 1$

Étape 2.2.4.3

Multipliez $- 120$ par $1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 168 x - 120$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 36 x^{2} + 168 x - 120$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 36 x^{2} + 168 x - 120 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $- 12$ à partir de $- 36 x^{2} + 168 x - 120$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $- 12$ à partir de $- 36 x^{2}$ .

$- 12 (3 x^{2}) + 168 x - 120 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $- 12$ à partir de $168 x$ .

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x) - 120 = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $- 12$ à partir de $- 120$ .

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x) - 12 \cdot 10 = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x)$ .

$- 12 (3 x^{2} - 14 x) - 12 \cdot 10 = 0$

Étape 3.2.5

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12 (3 x^{2} - 14 x) - 12 (10)$ .

$- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 14 x + 10$ par $1$ .

$3 x^{2} - 14 x + 10 = \frac{0}{- 12}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $0$ par $- 12$ .

$3 x^{2} - 14 x + 10 = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 14$ et $c = 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 10)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.3

Soustrayez $120$ de $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 3.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.3

Soustrayez $120$ de $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 3.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{7 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Étape 3.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.8.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.8.1.3

Soustrayez $120$ de $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.8.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 3.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Étape 3.8.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

Étape 3.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 3.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{7 + \sqrt{19}}{3}, \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $3.78629964$ dans $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $3.78629964$ dans l’expression.

$f (3.78629964) = - 3 {(3.78629964)}^{4} + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $3.78629964$ à la puissance $4$ .

$f (3.78629964) = - 3 \cdot 205.52276035 + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $205.52276035$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $3.78629964$ à la puissance $3$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 28 \cdot 54.28063794 - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $28$ par $54.28063794$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $3.78629964$ à la puissance $2$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 60 \cdot 14.33606502$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 60$ par $14.33606502$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 860.16390139$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $- 616.56828105$ et $1519.85786257$ .

$f (3.78629964) = 903.28958152 - 860.16390139$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $860.16390139$ de $903.28958152$ .

$f (3.78629964) = 43.12568012$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $43.12568012$ .

$43.12568012$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $3.78629964$ dans $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ est $(3.78629964, 43.12568012)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(3.78629964, 43.12568012)$

Étape 4.3

Remplacez $0.88036701$ dans $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.88036701$ dans l’expression.

$f (0.88036701) = - 3 {(0.88036701)}^{4} + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $0.88036701$ à la puissance $4$ .

$f (0.88036701) = - 3 \cdot 0.60069643 + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0.60069643$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Élevez $0.88036701$ à la puissance $3$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 28 \cdot 0.68232501 - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $28$ par $0.68232501$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $0.88036701$ à la puissance $2$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 60 \cdot 0.77504608$

Étape 4.3.2.1.6

Multipliez $- 60$ par $0.77504608$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 46.50276526$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.3.2.2.1

Additionnez $- 1.80208931$ et $19.10510038$ .

$f (0.88036701) = 17.30301107 - 46.50276526$

Étape 4.3.2.2.2

Soustrayez $46.50276526$ de $17.30301107$ .

$f (0.88036701) = - 29.19975419$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $- 29.19975419$ .

$- 29.19975419$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $0.88036701$ dans $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ est $(0.88036701, - 29.19975419)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0.88036701, - 29.19975419)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(3.78629964, 43.12568012), (0.88036701, - 29.19975419)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0.88036701) \cup (0.88036701, 3.78629964) \cup (3.78629964, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0.88036701)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.78036701$ dans l’expression.

$f'' (0.78036701) = - 36 {(0.78036701)}^{2} + 168 (0.78036701) - 120$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.78036701$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.78036701) = - 36 \cdot 0.60897268 + 168 (0.78036701) - 120$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 36$ par $0.60897268$ .

$f'' (0.78036701) = - 21.92301662 + 168 (0.78036701) - 120$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $168$ par $0.78036701$ .

$f'' (0.78036701) = - 21.92301662 + 131.10165916 - 120$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 21.92301662$ et $131.10165916$ .

$f'' (0.78036701) = 109.17864253 - 120$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $120$ de $109.17864253$ .

$f'' (0.78036701) = - 10.82135746$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 10.82135746$ .

$- 10.82135746$

Étape 6.3

Sur $0.78036701$ , la dérivée seconde est $- 10.82135746$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, 0.88036701)$

Diminue sur $(- \infty, 0.88036701)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.88036701, 3.78629964)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.33333333$ dans l’expression.

$f'' (2.33333333) = - 36 {(2.33333333)}^{2} + 168 (2.33333333) - 120$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2.33333333$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.33333333) = - 36 \cdot 5.\overline{4} + 168 (2.33333333) - 120$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 36$ par $5.\overline{4}$ .

$f'' (2.33333333) = - 196 + 168 (2.33333333) - 120$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $168$ par $2.33333333$ .

$f'' (2.33333333) = - 196 + 392 - 120$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 196$ et $392$ .

$f'' (2.33333333) = 196 - 120$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $120$ de $196$ .

$f'' (2.33333333) = 76$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $76$ .

$76$

Étape 7.3

Sur $2.33333333$ , la dérivée seconde est $76$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0.88036701, 3.78629964)$ .

Augmente sur $(0.88036701, 3.78629964)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3.78629964, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $3.88629964$ dans l’expression.

$f'' (3.88629964) = - 36 {(3.88629964)}^{2} + 168 (3.88629964) - 120$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $3.88629964$ à la puissance $2$ .

$f'' (3.88629964) = - 36 \cdot 15.10332495 + 168 (3.88629964) - 120$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 36$ par $15.10332495$ .

$f'' (3.88629964) = - 543.7196983 + 168 (3.88629964) - 120$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $168$ par $3.88629964$ .

$f'' (3.88629964) = - 543.7196983 + 652.89834083 - 120$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $- 543.7196983$ et $652.89834083$ .

$f'' (3.88629964) = 109.17864253 - 120$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $120$ de $109.17864253$ .

$f'' (3.88629964) = - 10.82135746$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 10.82135746$ .

$- 10.82135746$

Étape 8.3

Sur $3.88629964$ , la dérivée seconde est $- 10.82135746$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(3.78629964, \infty)$

Diminue sur $(3.78629964, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(0.88036701, - 29.19975419), (3.78629964, 43.12568012)$ .

$(0.88036701, - 29.19975419), (3.78629964, 43.12568012)$

Étape 10