Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} (\frac{1}{1 - x}) - \frac{3}{1 - x^{3}}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{1 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}} - \frac{3}{1 - x^{3}}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{3}{1 - x^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}} - \frac{3}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - x) (1 - x^{3})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{1 - x}$ par $\frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - \frac{3}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{3}{1 - x^{3}}$ par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - \frac{3 (1 - x)}{(1 - x^{3}) (1 - x)}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - x^{3}) (1 - x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - \frac{3 (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3} - 3 (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x^{3} - 3 (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 (lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 (1 - lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 - 1^{3} - 3 (1 - lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 - 1^{3} - 3 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.8.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.8.1.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.8.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.2.8.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

Étape 2.1.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

Étape 2.1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{3})}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (1 - lim_{x \to 1} x^{3})}$

Étape 2.1.3.6

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3})}$

Étape 2.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3})}$

Étape 2.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - 1^{3})}$

Étape 2.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.8.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1^{3})}$

Étape 2.1.3.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.8.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Étape 2.1.3.8.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.8.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.8.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3} - 3 (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{3})} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x^{3} - 3 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x^{3} - 3 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{3} - 3 (1 - x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 (1 - x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 (1 - x)]$ .

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Étape 2.3.5.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 (1 - x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [1 - x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - 3 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.5.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - 3 (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - 3 (0 - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - 3 (0 - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.5.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - 3 (0 - 1)}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.5.7

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.5.8

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} + 3}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.6

Soustrayez $3 x^{2}$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 - x$ et $g (x) = 1 - x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x^{3}] + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Étape 2.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Étape 2.3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Étape 2.3.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) \frac{d}{d x} [- x^{3}] + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Étape 2.3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Étape 2.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- (3 x^{2})) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Étape 2.3.13

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Étape 2.3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Étape 2.3.15

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Étape 2.3.16

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 2.3.17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (- \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 2.3.18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (- 1 \cdot 1)}$

Étape 2.3.19

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \cdot - 1}$

Étape 2.3.20

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 - x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- 3 x^{2}) - 1 \cdot (1 - x^{3})}$

Étape 2.3.21

Réécrivez $- 1 (1 - x^{3})$ comme $- (1 - x^{3})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{(1 - x) (- 3 x^{2}) - (1 - x^{3})}$

Étape 2.3.22

Simplifiez

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Étape 2.3.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{1 (- 3 x^{2}) - x (- 3 x^{2}) - (1 - x^{3})}$

Étape 2.3.22.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{1 (- 3 x^{2}) - x (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Étape 2.3.22.3

Associez des termes.

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Étape 2.3.22.3.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{- 3 x^{2} - x (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Étape 2.3.22.3.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{- 3 x^{2} + 3 x \cdot x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Étape 2.3.22.3.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.22.3.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{- 3 x^{2} + 3 (x^{2} x) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Étape 2.3.22.3.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.22.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{- 3 x^{2} + 3 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Étape 2.3.22.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{- 3 x^{2} + 3 x^{2 + 1} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Étape 2.3.22.3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Étape 2.3.22.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 - - x^{3}}$

Étape 2.3.22.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 + 1 x^{3}}$

Étape 2.3.22.3.6

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 + x^{3}}$

Étape 2.3.22.3.7

Additionnez $3 x^{3}$ et $x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{- 3 x^{2} + 4 x^{3} - 1}$

Étape 2.3.22.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} - 3 x^{2} + 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} 3 x^{2} + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.1.2.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.1.2.1.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 3 \cdot 1^{2} + 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 3 \cdot 1 + 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.1.2.3.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.1.2.3.2

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.1.3.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.1.3.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.1.3.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.1.3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{4 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.8.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.8.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.8.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.8.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 - 1}$

Étape 3.1.3.8.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 3.1.3.8.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.8.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.3.5

Additionnez $- 6 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 3 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 3.3.7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x}{4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.8.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x}{12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x}{12 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.8.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x}{12 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x}{12 x^{2} - 6 x + 0}$

Étape 3.3.10

Additionnez $12 x^{2} - 6 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 6 x}{12 x^{2} - 6 x}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 6 lim_{x \to 1} \frac{x}{12 x^{2} - 6 x}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - 6 x}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Étape 4.4

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Étape 4.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Étape 4.6

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$- 6 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$- 6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$- 6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 6 \frac{1}{12 \cdot 1 - 6 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$- 6 \frac{1}{12 - 6 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 \frac{1}{12 - 6}$

Étape 6.1.4

Soustrayez $6$ de $12$ .

$- 6 (\frac{1}{6})$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$6 (- 1) \frac{1}{6}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 \cdot - 1 \frac{1}{6}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1$