Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ comme $(x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}) (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$ .

$(x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}) (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2

Développez $(x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}) (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}) - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}) - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}) - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}) - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}) - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}) - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $- x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.3.2

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $4 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}$ dans le numérateur.

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.4.2

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $4 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 4} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 4} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.1.6

Multipliez $- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}})$ .

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $\frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}$ par $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.1.6.3

Multipliez $\frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 3.1.6.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.1.6.5

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.6.5.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 3.1.6.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 3.1.6.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{\frac{1 + 1}{3}}}$

Étape 3.1.6.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $- \frac{1}{4}$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{16 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{2}{3}} - 1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{16 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{\frac{2}{3}}}$