Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{e^{2 x}}{x^{10}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{2 x}$ et $g (x) = x^{10}$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{{(x^{10})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{10})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{10 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{x^{10} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{10} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{10} (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$\frac{x^{10} (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (10 x^{9})}{x^{20}}$

Étape 4.5

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{x^{10} (2 e^{2 x}) - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{10} e^{2 x} - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Étape 5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x^{10} e^{2 x} - 10 e^{2 x} x^{9}$ .

$\frac{2 x^{10} e^{2 x} - 10 x^{9} e^{2 x}}{x^{20}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 e^{2 x} x^{10} - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Étape 5.3

Factorisez $2 e^{2 x} x^{9}$ à partir de $2 e^{2 x} x^{10} - 10 e^{2 x} x^{9}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2 e^{2 x} x^{9}$ à partir de $2 e^{2 x} x^{10}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x) - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Étape 5.3.2

Factorisez $2 e^{2 x} x^{9}$ à partir de $- 10 e^{2 x} x^{9}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x) + 2 e^{2 x} x^{9} (- 5)}{x^{20}}$

Étape 5.3.3

Factorisez $2 e^{2 x} x^{9}$ à partir de $2 e^{2 x} x^{9} (x) + 2 e^{2 x} x^{9} (- 5)$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x - 5)}{x^{20}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $x^{9}$ et $x^{20}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x^{9}$ à partir de $2 e^{2 x} x^{9} (x - 5)$ .

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{20}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $x^{9}$ à partir de $x^{20}$ .

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{9} x^{11}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{9} x^{11}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{2 x} (x - 5)}{x^{11}}$