Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x - 1)}^{2} + 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2} + 1)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) + 1]$

Étape 3.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Étape 3.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1 + 1]$

Étape 3.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1 + 1]$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1 + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.6.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 2 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.6.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 2 + 0 + 0$

Étape 3.7

Associez des termes.

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Étape 3.7.1

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Étape 3.7.2

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$2 x - 2$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 x - 2$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2$