Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16 = 0$

Étape 1.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{3} - x^{2}) - 48 x + 16 = 0$

Étape 1.2.2.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (3 x - 1) - 16 (3 x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x^{2} - 16) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(3 x - 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez.

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Étape 1.2.2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(3 x - 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 1.2.2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 1.2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.2.3

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 1.2.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.2.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 1.2.2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, - 4, 4$

Étape 1.2.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $0 = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ vrai.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{1}{3}, 0), (4, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = \frac{3 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3 \cdot 0^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3 \cdot 0^{3} - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3 \cdot 0^{3} - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.5

Simplifiez $\frac{3 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{3 \cdot 0 - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$y = \frac{0 - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.5.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{0 - 0 - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = \frac{0 + 0 - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.5.1.5

Multipliez $- 48$ par $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.5.1.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.5.1.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.5.1.8

Additionnez $0$ et $16$ .

$y = \frac{16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{16}{0 + 5 (0) + 4}$

Étape 2.2.5.2.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$y = \frac{16}{0 + 0 + 4}$

Étape 2.2.5.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{16}{0 + 4}$

Étape 2.2.5.2.4

Additionnez $0$ et $4$ .

$y = \frac{16}{4}$

Étape 2.2.5.3

Divisez $16$ par $4$ .

$y = 4$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 4)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{1}{3}, 0), (4, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 4)$

Étape 4