Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\frac{lim_{x \to 4} x}{x + 1} - \frac{4}{5}}{x - 4}$

Étape 1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{\frac{4}{x + 1} - \frac{4}{5}}{x - 4}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(x + 1) \cdot 5$ .

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{\frac{4}{x + 1} - \frac{4}{5}}{x - 4}$ par $\frac{(x + 1) \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} \cdot \frac{\frac{4}{x + 1} - \frac{4}{5}}{x - 4}$

Étape 2.1.2

Associez.

$\frac{(x + 1) \cdot 5 (\frac{4}{x + 1} - \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 1) \cdot 5 \frac{4}{x + 1} + (x + 1) \cdot 5 (- \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) \cdot 5$ .

$\frac{(x + 1) (5) \frac{4}{x + 1} + (x + 1) \cdot 5 (- \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) \cdot 5 \frac{4}{x + 1} + (x + 1) \cdot 5 (- \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \cdot 4 + (x + 1) \cdot 5 (- \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.3.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20 + (x + 1) \cdot 5 (- \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{20 + (x + 1) \cdot 5 \frac{- 4}{5}}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.3.3.2

Factorisez $5$ à partir de $(x + 1) \cdot 5$ .

$\frac{20 + 5 \cdot (x + 1) \frac{- 4}{5}}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 + 5 \cdot (x + 1) \frac{- 4}{5}}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{20 + (x + 1) \cdot - 4}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20 + (x + 1) \cdot - 4$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 (5) + (x + 1) \cdot - 4}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $(x + 1) \cdot - 4$ .

$\frac{4 (5) + 4 ((x + 1) \cdot - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (5) + 4 ((x + 1) \cdot - 1)$ .

$\frac{4 (5 + (x + 1) \cdot - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (5 + x \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.4.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 (5 - 1 \cdot x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 (5 - 1 \cdot x - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.4.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{4 (5 - x - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.4.6

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.5

Factorisez $(x + 1) \cdot 5$ à partir de $(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $(x + 1) \cdot 5$ à partir de $(x + 1) \cdot 5 x$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{(x + 1) \cdot 5 (x) + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Étape 2.5.2

Factorisez $(x + 1) \cdot 5$ à partir de $(x + 1) \cdot 5 \cdot - 4$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{(x + 1) \cdot 5 (x) + (x + 1) \cdot 5 (- 4)}$

Étape 2.5.3

Factorisez $(x + 1) \cdot 5$ à partir de $(x + 1) \cdot 5 (x) + (x + 1) \cdot 5 (- 4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $- x + 4$ et $x - 4$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Étape 2.6.2

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Étape 2.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Étape 2.6.4

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Étape 2.6.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Étape 2.6.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{(x + 1) \cdot 5}$

Étape 2.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4}{(x + 1) \cdot 5}$

Étape 2.8

Déplacez $5$ à gauche de $x + 1$ .

$\frac{- 4}{5 \cdot (x + 1)}$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5 (x + 1)}$