Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 2} \frac{3 t^{2} - 7 t + 2}{2 - t}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 2} 3 t^{2} - 7 t + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{t \to 2} 3 t^{2} - lim_{t \to 2} 7 t + lim_{t \to 2} 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{3 lim_{t \to 2} t^{2} - lim_{t \to 2} 7 t + lim_{t \to 2} 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{t \to 2} t)}^{2} - lim_{t \to 2} 7 t + lim_{t \to 2} 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 2} t)}^{2} - 7 lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $t$ approche de $2$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 2} t)}^{2} - 7 lim_{t \to 2} t + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $2$ pour $t$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 7 lim_{t \to 2} t + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $2$ pour $t$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$\frac{12 - 14 + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $14$ de $12$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.2.7.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 2} 2 - lim_{t \to 2} t}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $t$ approche de $2$ .

$\frac{0}{2 - lim_{t \to 2} t}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $2$ pour $t$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 2} \frac{3 t^{2} - 7 t + 2}{2 - t} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 7 t + 2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 7 t + 2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} - 7 t + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 7 t]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7 t$ par rapport à $t$ est $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7 + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7 + 0}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $6 t - 7$ et $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- t]}$

Étape 1.3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{0 + \frac{d}{d t} [- t]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{0 - \frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{0 - 1}$

Étape 1.3.10

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{- 1}$

Étape 1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{6 t - 7}{- 1}$ .

$lim_{t \to 2} - 1 \cdot (6 t - 7)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to 2} 6 t - 7$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $2$ .

$- (lim_{t \to 2} 6 t - lim_{t \to 2} 7)$

Étape 2.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- (6 lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 7)$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $t$ approche de $2$ .

$- (6 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 7)$

Étape 3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $2$ pour $t$ .

$- (6 \cdot 2 - 1 \cdot 7)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$- (12 - 1 \cdot 7)$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- (12 - 7)$

Étape 4.2

Soustrayez $7$ de $12$ .

$- 1 \cdot 5$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5$