Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 4 x^{2} + x + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{8}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 4 x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $\frac{1}{16}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{8}$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $- \frac{1}{8}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{8}$ pour $x$ .

$\frac{4 {(- \frac{1}{8})}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{8}$ pour $x$ .

$\frac{4 {(- \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{8}$ .

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ par $1$ .

$\frac{4 \frac{1^{2}}{8^{2}} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4 \frac{1}{8^{2}} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 (\frac{1}{64}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$\frac{4 \frac{1}{4 (16)} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \frac{1}{4 \cdot 16} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.7

Pour écrire $- \frac{1}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1.8.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.8.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - 2}{16} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.10

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{\frac{- 1}{16} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 1 + 1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.12

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{\frac{0}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.1.13

Divisez $0$ par $16$ .

$\frac{0}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Divisez $0$ par ${(8 x + 1)}^{2}$ .

$0$