Calcul infinitésimal Exemples

${(6 x + 5)}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(6 x + 5)}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(6 x + 5)}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(6 x + 5)}^{2} d x$

Étape 4

Laissez $u = 6 x + 5$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 6 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $6 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$6$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{6} d u$

Étape 5

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{u^{2}}{6} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int u^{2} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 3} u^{3} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{1}{18} u^{3} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x + 5$ .

$\frac{1}{18} {(6 x + 5)}^{3} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(6 x + 5)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{18} {(6 x + 5)}^{3} + C$