Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 12 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x^{2} (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 7$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{3} + 7$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 7$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 + 0 + 7$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 7$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $7$ .

$7$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 7$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 - 4 {(3)}^{3} + 7$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 - 4 \cdot 27 + 7$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $27$ .

$81 - 108 + 7$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $108$ de $81$ .

$- 27 + 7$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 27$ et $7$ .

$- 20$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 7), (3, - 20)$

Étape 5