Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 1} u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite de $u^{4} - 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $u^{4}$ comme ${(u^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1}{u^{3} - 1}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1^{2}}{u^{3} - 1}$

Étape 2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = u^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1)}{u^{3} - 1}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1^{2})}{u^{3} - 1}$

Étape 2.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = u$ et $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1^{3}}$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = u$ et $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $u$ par $1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1^{2})}$

Étape 2.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $u - 1$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1)}{u^{2} + u + 1}$