Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{3 n^{2} + 4 n + 5}{2 n^{2} - 3 n + 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + 4 n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{3 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Étape 5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Étape 6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Étape 10

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}$

Étape 11

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Étape 12.4

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Étape 13.1.2

Multipliez $3$ par $64$ .

$\frac{192 + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Étape 13.1.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{192 + 32 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Étape 13.1.4

Additionnez $192$ et $32$ .

$\frac{224 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Étape 13.1.5

Additionnez $224$ et $5$ .

$\frac{229}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{229}{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 + 1}$

Étape 13.2.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{229}{128 - 3 \cdot 8 + 1}$

Étape 13.2.3

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$\frac{229}{128 - 24 + 1}$

Étape 13.2.4

Soustrayez $24$ de $128$ .

$\frac{229}{104 + 1}$

Étape 13.2.5

Additionnez $104$ et $1$ .

$\frac{229}{105}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{229}{105}$

Forme décimale :

$2.18095238 \dots$