Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{4 - 3})}{h}$

Étape 1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite de $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - (3 + 0)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - 1 \cdot 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{5 - \sqrt{1} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.6.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - 1)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2.7

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{5 - 1 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{5 - 1 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1 \cdot 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3

Soustrayez $1$ de $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $5$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6

Évaluez $\frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}]$ .

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Étape 2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - (3 + h)}$ comme ${(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $h$ est $- \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ et $g (h) = 4 - (3 + h)$ .

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Étape 2.3.6.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - (3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - (3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - (3 + h)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.5

Comme $4$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $4$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- (3 + h)$ par rapport à $h$ est $- \frac{d}{d h} [3 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [3 + h])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.8

Comme $3$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $3$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.15

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.17

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.18

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.19

Associez $\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.20

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.21

Réécrivez $- 1 {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.22

Placez ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.24

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6.25

Multipliez $\frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.7

Évaluez $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ .

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Étape 2.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.7.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 1 \cdot 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.8.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.8.2.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.8.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.8.2.4

Additionnez $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 2.5

Réécrivez ${(1 - h)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{1 - h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}} \cdot 1$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - h}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

Étape 3.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - h}}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} h}}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} h}}$

Étape 3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 3.7.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Étape 3.7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.7.2.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Étape 3.7.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 3.7.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 3.7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 3.7.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$