Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} {(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$ comme $e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})$ en déplaçant $\csc (x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 8} e^{\csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Étape 2.4

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + \sin (x))}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Évaluez $\csc (8)$ .

$e^{7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Étape 4.2

Simplifiez $7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))$ en déplaçant $7.18529653$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(1 + \sin (8))}^{7.18529653})}$

Étape 4.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(1 + \sin (8))}^{7.18529653}$

Étape 4.4

Évaluez $\sin (8)$ .

${(1 + 0.1391731)}^{7.18529653}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $0.1391731$ .

${1.1391731}^{7.18529653}$

Étape 4.6

Élevez $1.1391731$ à la puissance $7.18529653$ .

$2.55043306$