Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{1 + 2 + 3 + n}{3 n + 1} - \frac{n}{6}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{1 + 2 + 3 + n}{3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1 + 2 + 3 + n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1 + lim_{n \to 8} 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1 + lim_{n \to 8} 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Étape 5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1 + 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Étape 6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Étape 8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Étape 10

Placez le terme $\frac{1}{6}$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Étape 12.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{6 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Étape 12.3

Additionnez $6$ et $8$ .

$\frac{14}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Étape 12.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.4.1.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{14}{24 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Étape 12.4.1.2

Additionnez $24$ et $1$ .

$\frac{14}{25} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Étape 12.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{6}$ dans le numérateur.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{6} \cdot 8$

Étape 12.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 8$

Étape 12.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 12.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 12.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{3} \cdot 4$

Étape 12.4.3

Associez $\frac{- 1}{3}$ et $4$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 1 \cdot 4}{3}$

Étape 12.4.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 4}{3}$

Étape 12.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{14}{25} - \frac{4}{3}$

Étape 12.5

Pour écrire $\frac{14}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{25} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 12.6

Pour écrire $- \frac{4}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$\frac{14}{25} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Étape 12.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $75$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.7.1

Multipliez $\frac{14}{25}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 3}{25 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Étape 12.7.2

Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Étape 12.7.3

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{25}{25}$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4 \cdot 25}{3 \cdot 25}$

Étape 12.7.4

Multipliez $3$ par $25$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4 \cdot 25}{75}$

Étape 12.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 \cdot 3 - 4 \cdot 25}{75}$

Étape 12.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.9.1

Multipliez $14$ par $3$ .

$\frac{42 - 4 \cdot 25}{75}$

Étape 12.9.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$\frac{42 - 100}{75}$

Étape 12.9.3

Soustrayez $100$ de $42$ .

$\frac{- 58}{75}$

Étape 12.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{58}{75}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{58}{75}$

Forme décimale :

$- 0.77\overline{3}$