Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\tan (x)}^{\tan (x)}$ comme $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})$ en déplaçant $\tan (x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (x) \ln (\tan (x))}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) \ln (\tan (x))}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \ln (\tan (x))}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \ln (\tan (x))}$

Étape 2.4

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x))}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \ln (\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x))}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$e^{\tan (\frac{π}{4}) \cdot \ln (\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x))}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$e^{\tan (\frac{π}{4}) \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$e^{1 \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 4.2

Simplifiez $1 \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))$ en déplaçant $1$ dans le logarithme.

$e^{\ln (\tan^{1} (\frac{π}{4}))}$

Étape 4.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\tan^{1} (\frac{π}{4})$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$1^{1}$

Étape 4.5

Évaluez l’exposant.

$1$