Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ comme $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ en déplaçant $\tan (2 x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.68539816 & - 0.99327506 \\ 0.77539816 & - 0.99993332 \\ 0.78439816 & - 0.99999933 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $\frac{π}{4}$ , les valeurs de la fonction approchent de $- 1$ . Ainsi, la limite de $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ depuis le côté gauche est $- 1$ .

$- 1$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.88539816 & - 0.99327506 \\ 0.79539816 & - 0.99993332 \\ 0.78639816 & - 0.99999933 \end{array}$

Étape 8

$e^{- 1}$

Étape 9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{e}$

Forme décimale :

$0.36787944 \dots$