Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${\tan (x)}^{\cos (x)}$ comme $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ en déplaçant $\cos (x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Étape 3

Évaluez la limite côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \ln (\tan (x))}$

Étape 3.2

Réécrivez $\cos (x) \ln (\tan (x))$ comme $\frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}}$

Étape 3.3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \ln (\tan (x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Étape 3.3.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Étape 3.3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.3.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sec (x)}}$

Étape 3.3.1.3.2

Comme les valeurs $x$ approchent de $\frac{π}{2}$ par la gauche, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.3.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}$

Étape 3.3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.6.1

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.6.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.7

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.8

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \sec^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.9.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.9.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.9.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.9.1.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.9.1.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.9.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.9.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.9.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.9.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.9.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ comme un produit.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.9.2.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Étape 3.3.3.10

Réécrivez $\frac{1}{\cos (x)}$ comme $\cos^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)]}}$

Étape 3.3.3.11

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.11.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Étape 3.3.3.11.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Étape 3.3.3.11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Étape 3.3.3.12

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}$

Étape 3.3.3.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Étape 3.3.3.14

Multipliez $\cos^{- 2} (x)$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Étape 3.3.3.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.15.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)}}$

Étape 3.3.3.15.2

Associez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 3.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.3.5

Combinez les facteurs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \sin (x)}}$

Étape 3.3.5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)}}$

Étape 3.3.5.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}}$

Étape 3.3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Étape 3.3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Étape 3.3.6

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Étape 3.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (\sin^{2} (x))}}$

Étape 3.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Étape 3.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 3.3.7

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

Étape 3.3.8

Séparez les fractions.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.3.9

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)}$

Étape 3.3.10

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cot (x)}$

Étape 3.4

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Étape 3.4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Étape 3.4.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Étape 3.5

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Étape 3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$e^{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Étape 3.6.2

Multipliez $\cot (\frac{π}{2})$ par $1$ .

$e^{\cot (\frac{π}{2})}$

Étape 3.6.3

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$e^{0}$

Étape 3.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez la limite de $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\tan (\frac{π}{2}))}$

Étape 5.2

Réécrivez $\tan (\frac{π}{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{2})})}$

Étape 5.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$

Étape 5.4

Comme $e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 6

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$