Calcul infinitésimal Exemples

$3^{2 x} - 108 \cdot 3^{x} + 2187 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $3^{2 x}$ comme ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} - 108 \cdot 3^{x} + 2187 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = 3^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $3^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 108 u + 2187 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 108 u + 2187$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2187$ et dont la somme est $- 108$ .

$- 81, - 27$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 81) (u - 27) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3^{x}$ .

$(3^{x} - 81) (3^{x} - 27) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3^{x} - 81 = 0$

$3^{x} - 27 = 0$

Étape 3

Définissez $3^{x} - 81$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $3^{x} - 81$ égal à $0$ .

$3^{x} - 81 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $3^{x} - 81 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $81$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{x} = 81$

Étape 3.2.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{4}$

Étape 3.2.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 4$

Étape 4

Définissez $3^{x} - 27$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $3^{x} - 27$ égal à $0$ .

$3^{x} - 27 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3^{x} - 27 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{x} = 27$

Étape 4.2.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{3}$

Étape 4.2.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 3$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3^{x} - 81) (3^{x} - 27) = 0$ vraie.

$x = 4, 3$