Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{2 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{8 x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{8 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} 8 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{8 x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.5

Déplacez $8$ à gauche de $e^{8 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $8 e^{8 x}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x}}{1}$

Étape 2.4

Divisez $8 e^{8 x}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 8 e^{8 x}$

Étape 3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8 lim_{x \to 0} e^{8 x}$

Étape 3.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{lim_{x \to 0} 8 x}$

Étape 3.3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{8 lim_{x \to 0} x}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{8 \cdot 0}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4)) e^{8 \cdot 0}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4) e^{8 \cdot 0}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 e^{8 \cdot 0}$

Étape 5.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$4 e^{0}$

Étape 5.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$