Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \frac{e^{6 t} + e^{- 6 t}}{e^{4 t}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = e^{6 t} + e^{- 6 t}$ et $g (t) = e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} \frac{d}{d t} [e^{6 t} + e^{- 6 t}] - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{{(e^{4 t})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{4 t})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{4 t} \frac{d}{d t} [e^{6 t} + e^{- 6 t}] - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{4 t \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{e^{4 t} \frac{d}{d t} [e^{6 t} + e^{- 6 t}] - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{6 t} + e^{- 6 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [e^{6 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]$ .

$\frac{e^{4 t} (\frac{d}{d t} [e^{6 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 6 t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} (6 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} \cdot 6 + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $6$ à gauche de $e^{6 t}$ .

$\frac{e^{4 t} (6 \cdot e^{6 t} + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 6 t$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 6 t]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 6 t]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} \frac{d}{d t} [- 6 t]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 6 t$ par rapport à $t$ est $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} (- 6 \frac{d}{d t} [t])) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} (- 6 \cdot 1)) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} \cdot - 6) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 6.3.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $e^{- 6 t}$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 \cdot e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 4 t$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $4 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [4 t])}{e^{8 t}}$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [4 t])}{e^{8 t}}$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $4 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])}{e^{8 t}}$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]))}{e^{8 t}}$

Étape 8.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} (\frac{d}{d t} [t]))}{e^{8 t}}$

Étape 8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} \cdot 1)}{e^{8 t}}$

Étape 8.4

Multipliez $e^{4 t}$ par $1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) + (- 4 e^{6 t} - 4 e^{- 6 t}) e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 e^{4 t} e^{6 t} + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.2

Multipliez $e^{4 t}$ par $e^{6 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.1.2.1

Déplacez $e^{6 t}$ .

$\frac{6 (e^{6 t} e^{4 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 e^{6 t + 4 t} + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.2.3

Additionnez $6 t$ et $4 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{4 t} e^{- 6 t} - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.4

Multipliez $e^{4 t}$ par $e^{- 6 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.1.4.1

Déplacez $e^{- 6 t}$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 (e^{- 6 t} e^{4 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 6 t + 4 t} - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.4.3

Additionnez $- 6 t$ et $4 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.5

Multipliez $e^{6 t}$ par $e^{4 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.1.5.1

Déplacez $e^{4 t}$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 (e^{4 t} e^{6 t}) - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{4 t + 6 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.5.3

Additionnez $4 t$ et $6 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.6

Multipliez $e^{- 6 t}$ par $e^{4 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.1.6.1

Déplacez $e^{4 t}$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 (e^{4 t} e^{- 6 t})}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 e^{4 t - 6 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.1.6.3

Soustrayez $6 t$ de $4 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.2

Soustrayez $4 e^{10 t}$ de $6 e^{10 t}$ .

$\frac{2 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.4.3

Soustrayez $4 e^{- 2 t}$ de $- 6 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 e^{10 t} - 10 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.5

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{10 t} - 10 e^{- 2 t}$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{10 t}$ .

$\frac{2 (e^{10 t}) - 10 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Étape 9.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 (e^{10 t}) + 2 (- 5 e^{- 2 t})}{e^{8 t}}$

Étape 9.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (e^{10 t}) + 2 (- 5 e^{- 2 t})$ .

$\frac{2 (e^{10 t} - 5 e^{- 2 t})}{e^{8 t}}$