Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.2.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.2.5.3

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.2.5.4

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.6

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + 0}$

Étape 1.3.8

Simplifiez

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Étape 1.3.8.1

Additionnez $\sec^{2} (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 1.3.8.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 1.3.8.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 1.3.8.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}$

Étape 2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 4.3

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 4.4.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Étape 4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{2^{2}}$

Étape 4.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{4}$

Étape 4.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 (1)}{4}$

Étape 4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.10

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$0.70710678 \dots$