Calcul infinitésimal Exemples

lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez

\cot (3 x)

$\cot (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Étape 1.2

Réécrivez

\cot (4 x)

$\cot (4 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Étape 1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par

\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Convertissez de

\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}

$\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$ à

\cot (4 x)

$\cot (4 x)$ .

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 1.4.2

Convertissez de

\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ à

\tan (3 x)

$\tan (3 x)$ .

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Étape 2

Regardez la limite côté gauche.

lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Étape 3

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ lorsque

x

$x$ approche de

0

$0$ par la gauche.

\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

Étape 4

Lorsque les valeurs

x

$x$ approchent de

0

$0$ , les valeurs de la fonction approchent de

0.75

$0.75$ . Ainsi, la limite de

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ lorsque

x

$x$ approche de

0

$0$ depuis le côté gauche est

0.75

$0.75$ .

0.75

$0.75$

Étape 5

Regardez la limite côté droit.

lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Étape 6

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ lorsque

x

$x$ approche de

0

$0$ par la droite.

\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

Étape 7

Lorsque les valeurs

x

$x$ approchent de

0

$0$ , les valeurs de la fonction approchent de

0.75

$0.75$ . Ainsi, la limite de

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ lorsque

x

$x$ approche de

0

$0$ depuis le côté droit est

0.75

$0.75$ .

0.75

$0.75$