Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{3 x^{2}}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{x^{2}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.7.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.7.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.7.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.7.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.7.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Étape 2.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot 1 \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.9

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.11

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.14

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.15

Simplifiez

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Étape 2.3.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + 1 \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.15.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.15.2.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.15.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.15.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.15.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.15.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{2 x}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{x}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (0) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.8.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0^{2} + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.8.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.8.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.8.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.8.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.8.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.8.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.8.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Étape 4.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 4.3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 4.3.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.6

Associez des termes.

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Étape 4.3.6.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.6.2

Additionnez $2 \cos (x) \sin (x)$ et $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{1}$

Étape 4.4

Divisez $4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Étape 5.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Étape 5.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Étape 5.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Étape 5.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Étape 7.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{6} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{6} (4 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Étape 7.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{6} (4 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Étape 7.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{6} (4 \cdot 0 - \sin (0))$

Étape 7.2.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - \sin (0))$

Étape 7.2.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - 0)$

Étape 7.2.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + 0)$

Étape 7.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $0$ .

$0$