Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \sqrt[4]{\frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[4]{lim_{x \to 8} \frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Étape 5

Placez le terme $81$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{8^{2} + 8}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 64}{8^{2} + 8}}$

Étape 11.2

Multipliez $81$ par $64$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 5184}{8^{2} + 8}}$

Étape 11.3

Additionnez $7$ et $5184$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{8^{2} + 8}}$

Étape 11.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{64 + 8}}$

Étape 11.5

Additionnez $64$ et $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$

Étape 11.6

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$

Étape 11.7

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Étape 11.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{\sqrt[4]{72} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Étape 11.8.2

Élevez $\sqrt[4]{72}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Étape 11.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1 + 3}}$

Étape 11.8.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{4}}$

Étape 11.8.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{72}}^{4}$ comme $72$ .

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Étape 11.8.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{72}$ comme $72^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{(72^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 11.8.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 11.8.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

Étape 11.8.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.8.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

Étape 11.8.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{1}}$

Étape 11.8.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72}$

Étape 11.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.9.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{72}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{72^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{72^{3}}}{72}$

Étape 11.9.2

Élevez $72$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{373248}}{72}$

Étape 11.9.3

Réécrivez $373248$ comme $12^{4} \cdot 18$ .

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Étape 11.9.3.1

Factorisez $20736$ à partir de $373248$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{20736 (18)}}{72}$

Étape 11.9.3.2

Réécrivez $20736$ comme $12^{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{12^{4} \cdot 18}}{72}$

Étape 11.9.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt[4]{5191} \cdot 12 \sqrt[4]{18}}{72}$

Étape 11.9.5

Associez les exposants.

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Étape 11.9.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{12 \sqrt[4]{5191 \cdot 18}}{72}$

Étape 11.9.5.2

Multipliez $5191$ par $18$ .

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{72}$

Étape 11.10

Annulez le facteur commun à $12$ et $72$ .

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Étape 11.10.1

Factorisez $12$ à partir de $12 \sqrt[4]{93438}$ .

$\frac{12 (\sqrt[4]{93438})}{72}$

Étape 11.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.10.2.1

Factorisez $12$ à partir de $72$ .

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

Étape 11.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

Étape 11.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

Forme décimale :

$2.91393347 \dots$