Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{(\frac{1}{x} - \frac{1}{2})}{x - 2}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 2}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x}}{x - 2}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x}}{x - 2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x \cdot 2} - \frac{x}{2 x}}{x - 2}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} - \frac{x}{2 x}}{x - 2}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 - x}{2 x}}{x - 2}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{2 x} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{2 - x}{2 x}$ par $\frac{1}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{2 x (x - 2)}$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun à $2 - x$ et $x - 2$ .

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (- 2) - x}{2 x (x - 2)}$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (- 2) - (x)}{2 x (x - 2)}$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (- 2 + x)}{2 x (x - 2)}$

Étape 2.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (x - 2)}{2 x (x - 2)}$

Étape 2.1.3.5

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (x - 2)}{2 x (x - 2)}$

Étape 2.1.3.6

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{2 x}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{- 1}{x}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} - 1}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$- 0.25$