Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite de $\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.2

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.4

Réécrivez $t^{\frac{3}{2}}$ comme ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.6.2

Réécrivez $- 1 t^{\frac{1}{2}}$ comme $- t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.6.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.1.6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.6.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.6.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.6.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.1.6.4

Simplifiez

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{9 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{9 t - t^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez $t$ à partir de $9 t - t^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $t$ à partir de $9 t$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 9 - t^{2}}$

Étape 2.2.2

Factorisez $t$ à partir de $- t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 9 + t (- t)}$

Étape 2.2.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot 9 + t (- t)$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (9 - t)}$

Étape 2.3

Placez $t^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (9 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 2.4

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (9 - t)}$

Étape 2.4.2

Multipliez $t^{- \frac{1}{2}}$ par $t$ .

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Étape 2.4.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (9 - t)}$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (9 - t)}$

Étape 2.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (9 - t)}$

Étape 2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (9 - t)}$

Étape 2.4.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (9 - t)}$