Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x})}{\tan (\frac{6}{x})}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (\frac{6}{x})$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x})}{\frac{\sin (\frac{6}{x})}{\cos (\frac{6}{x})}}$

Étape 1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (\frac{6}{x})}{\cos (\frac{6}{x})}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x}) \cos (\frac{6}{x})}{\sin (\frac{6}{x})}$

Étape 1.3

Convertissez de $\frac{\sin (\frac{3}{x}) \cos (\frac{6}{x})}{\sin (\frac{6}{x})}$ à $\sin (\frac{3}{x}) \cot (\frac{6}{x})$ .

$lim_{x \to 8} \sin (\frac{3}{x}) \cot (\frac{6}{x})$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} \sin (\frac{3}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\sin (lim_{x \to 8} \frac{3}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sin (3 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sin (3 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Étape 7

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (lim_{x \to 8} \frac{6}{x})$

Étape 8

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sin (3 (\frac{1}{8})) \cdot \cot (6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sin (3 (\frac{1}{8})) \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez $3$ et $\frac{1}{8}$ .

$\sin (\frac{3}{8}) \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

Étape 12.2

Évaluez $\sin (\frac{3}{8})$ .

$0.36627252 \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$0.36627252 \cdot \cot (2 (3) \frac{1}{8})$

Étape 12.3.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$0.36627252 \cdot \cot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4})$

Étape 12.3.3

Annulez le facteur commun.

$0.36627252 \cdot \cot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4})$

Étape 12.3.4

Réécrivez l’expression.

$0.36627252 \cdot \cot (3 (\frac{1}{4}))$

Étape 12.4

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$0.36627252 \cdot \cot (\frac{3}{4})$

Étape 12.5

Évaluez $\cot (\frac{3}{4})$ .

$0.36627252 \cdot 1.07342614$

Étape 12.6

Multipliez $0.36627252$ par $1.07342614$ .

$0.39316651$