Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{2 x^{2} - 1}{x + 8 x^{2}}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 1}{x + 8 x^{2}}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Étape 8

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 64 - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$\sqrt{\frac{128 - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 11.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{128 - 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 11.4

Soustrayez $1$ de $128$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 11.5

Multipliez $8$ par $8^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.5.1

Multipliez $8$ par $8^{2}$ .

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Étape 11.5.1.1

Élevez $8$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Étape 11.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{1 + 2}}}$

Étape 11.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{3}}}$

Étape 11.6

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 512}}$

Étape 11.7

Additionnez $8$ et $512$ .

$\sqrt{\frac{127}{520}}$

Étape 11.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{127}{520}}$ comme $\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{520}}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{520}}$

Étape 11.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.9.1

Réécrivez $520$ comme $2^{2} \cdot 130$ .

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Étape 11.9.1.1

Factorisez $4$ à partir de $520$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{4 (130)}}$

Étape 11.9.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{2^{2} \cdot 130}}$

Étape 11.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$

Étape 11.10

Multipliez $\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$ par $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}} \cdot \frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$

Étape 11.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$ par $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \sqrt{130} \sqrt{130}}$

Étape 11.11.2

Déplacez $\sqrt{130}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 (\sqrt{130} \sqrt{130})}$

Étape 11.11.3

Élevez $\sqrt{130}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 ({\sqrt{130}}^{1} \sqrt{130})}$

Étape 11.11.4

Élevez $\sqrt{130}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 ({\sqrt{130}}^{1} {\sqrt{130}}^{1})}$

Étape 11.11.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {\sqrt{130}}^{1 + 1}}$

Étape 11.11.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {\sqrt{130}}^{2}}$

Étape 11.11.7

Réécrivez ${\sqrt{130}}^{2}$ comme $130$ .

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Étape 11.11.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{130}$ comme $130^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.11.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.11.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.11.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.11.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.11.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{1}}$

Étape 11.11.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130}$

Étape 11.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.12.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{127 \cdot 130}}{2 \cdot 130}$

Étape 11.12.2

Multipliez $127$ par $130$ .

$\frac{\sqrt{16510}}{2 \cdot 130}$

Étape 11.13

Multipliez $2$ par $130$ .

$\frac{\sqrt{16510}}{260}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{16510}}{260}$

Forme décimale :

$0.49419709 \dots$