Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{49 x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{49 x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

Étape 2

Placez le terme $49$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{49 lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{49 \frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + 4 x^{2}}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + 4 x^{2}}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}}$

Étape 7

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + 4 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{49 \frac{8^{2}}{2 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{49 \frac{8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $49$ et $\frac{8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}}$

Étape 10.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 4 \cdot 64}}$

Étape 10.3

Multipliez $4$ par $64$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 256}}$

Étape 10.4

Additionnez $2$ et $256$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{258}}$

Étape 10.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 64}{258}}$

Étape 10.6

Multipliez $49$ par $64$ .

$\sqrt{\frac{3136}{258}}$

Étape 10.7

Annulez le facteur commun à $3136$ et $258$ .

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Étape 10.7.1

Factorisez $2$ à partir de $3136$ .

$\sqrt{\frac{2 (1568)}{258}}$

Étape 10.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $258$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1568}{2 \cdot 129}}$

Étape 10.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1568}{2 \cdot 129}}$

Étape 10.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1568}{129}}$

Étape 10.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{1568}{129}}$ comme $\frac{\sqrt{1568}}{\sqrt{129}}$ .

$\frac{\sqrt{1568}}{\sqrt{129}}$

Étape 10.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.9.1

Réécrivez $1568$ comme $28^{2} \cdot 2$ .

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Étape 10.9.1.1

Factorisez $784$ à partir de $1568$ .

$\frac{\sqrt{784 (2)}}{\sqrt{129}}$

Étape 10.9.1.2

Réécrivez $784$ comme $28^{2}$ .

$\frac{\sqrt{28^{2} \cdot 2}}{\sqrt{129}}$

Étape 10.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$

Étape 10.10

Multipliez $\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$ par $\frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$ .

$\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}} \cdot \frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$

Étape 10.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.11.1

Multipliez $\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$ par $\frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{\sqrt{129} \sqrt{129}}$

Étape 10.11.2

Élevez $\sqrt{129}$ à la puissance $1$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1} \sqrt{129}}$

Étape 10.11.3

Élevez $\sqrt{129}$ à la puissance $1$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1} {\sqrt{129}}^{1}}$

Étape 10.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1 + 1}}$

Étape 10.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{2}}$

Étape 10.11.6

Réécrivez ${\sqrt{129}}^{2}$ comme $129$ .

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Étape 10.11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{129}$ comme $129^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{(129^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{1}}$

Étape 10.11.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129}$

Étape 10.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.12.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{28 \sqrt{129 \cdot 2}}{129}$

Étape 10.12.2

Multipliez $129$ par $2$ .

$\frac{28 \sqrt{258}}{129}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{28 \sqrt{258}}{129}$

Forme décimale :

$3.48640771 \dots$