Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Étape 2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} 5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Étape 3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Étape 4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x}}$

Étape 5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $5$ par $8$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $5$ par $8$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{40}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{4 (10)}}$

Étape 7.2.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{2^{2} \cdot 10}}$

Étape 7.2.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Étape 7.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 7.4.2

Déplacez $\sqrt{10}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 7.4.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

Étape 7.4.4

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

Étape 7.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 7.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 7.4.7

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 7.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{1}}$

Étape 7.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10}$

Étape 7.5

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

Forme décimale :

$0.58326305 \dots$