Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}{x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 16} - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 16} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + 16} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 16} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 16} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 16} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 16} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{0^{2} + 16} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 16} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Additionnez $0$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x^{2} + 16} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 16}$ comme ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 16$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 16$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 16$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.11

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.13

Associez $2$ et $\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.14

Associez $\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.15

Placez ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.16

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.17

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 1.5

Réécrivez ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x^{2} + 16}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16} (2 x)}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.7.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16} (2 x)}$

Étape 1.7.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 16} \cdot (2)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 16}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 16}}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 16}}$

Étape 2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + 16}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 16}}$

Étape 2.6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 16}}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 16}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0^{2} + 16}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{2 \sqrt{0^{2} + 16}}$

Étape 4.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{0^{2} + 16}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{0 + 16}}$

Étape 4.3.2

Additionnez $0$ et $16$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{16}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{4^{2}}}$

Étape 4.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2 \cdot 4}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{8}$

Forme décimale :

$0.125$