Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{2 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} - x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.5.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.5.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \cos (x)}{1}$

Étape 2.4

Divisez $2 x - 1 + \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 x - 1 + \cos (x)$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1 + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + \cos (0))$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1 + \cos (0))$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 + \cos (0))$

Étape 5.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 + 1)$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- 1 + 1)$

Étape 5.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0$