Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.1.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.1.7

Évaluez la limite de $\frac{1}{2}$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (0)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + 0} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.3.4

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez $\frac{1}{2 + \sin (θ)}$ comme ${(2 + \sin (θ))}^{- 1}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [{(2 + \sin (θ))}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{- 1}$ et $g (θ) = 2 + \sin (θ)$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.3.5

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.3.6

Additionnez $0$ et $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.4

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \frac{1}{2}$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.5.2.1

Associez $\cos (θ)$ et $\frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.5.2.2

Additionnez $- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ et $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.6

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\cos (θ)}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{\cos (θ)}$ par $\frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Étape 1.6.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{θ \to 0} - \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$- lim_{θ \to 0} \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$- \frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de ${(2 + \sin (θ))}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ))}^{2}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ))}^{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$- \frac{1}{{(2 + \sin (0))}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + 0)}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \frac{1}{2^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$- 0.25$