Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Étape 3

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $π$ et $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{8})$ est $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Étape 7.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

Étape 7.2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car la tangente est positive dans le premier quadrant.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Étape 7.2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

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Étape 7.2.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Étape 7.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Étape 7.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Étape 7.2.4.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 7.2.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 7.2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 7.2.4.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 7.2.4.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 7.2.4.8.2

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 7.2.4.9

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Étape 7.2.4.10

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Étape 7.2.4.11

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 7.2.4.12

Simplifiez

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.4.14.1

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.14.2

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.15

Associez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.4.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.16.2

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 7.2.4.16.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Étape 7.2.4.16.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Étape 7.2.4.16.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Étape 7.2.4.16.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.16.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.4.16.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.2.4.16.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.16.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Étape 7.2.4.16.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Étape 7.2.4.16.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.4.16.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Étape 7.2.4.16.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Étape 7.2.4.16.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 7.2.4.16.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Étape 7.2.4.16.4

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} - 2$ et $2$ .

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Étape 7.2.4.16.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Étape 7.2.4.16.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Étape 7.2.4.16.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Étape 7.2.4.16.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.16.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Étape 7.2.4.16.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Étape 7.2.4.16.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Étape 7.2.4.16.4.4.4

Divisez $\sqrt{2} - 1$ par $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Étape 7.2.4.16.5

Appliquez la propriété distributive.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Étape 7.2.4.16.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Étape 7.2.4.17

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.18

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Forme décimale :

$3.31370849 \dots$