Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{x}$

Étape 1

Écrivez $x e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Étape 2.3.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 3.2.4

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Étape 3.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x} + e^{x}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 6.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 6.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 6.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$(- 1) e^{- 1} + 2 e^{- 1}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Étape 10.1.2

Réécrivez $- 1 \frac{1}{e}$ comme $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Étape 10.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Étape 10.1.4

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Étape 10.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 2}{e}$

Étape 10.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{e}$

Étape 11

$x = - 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 1}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 12.2.2

Réécrivez $- 1 \frac{1}{e}$ comme $- \frac{1}{e}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{e}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x e^{x}$ .

$(- 1, - \frac{1}{e})$ est un minimum local

Étape 14