Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} (y^{2} - 4) = x^{2} (x^{2} - 5)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 4)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 5))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y^{2}$ et $g (x) = y^{2} - 4$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.6

Additionnez $2 y y'$ et $0$ .

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.7

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1

Déplacez $y$ .

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.7.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 2.7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.9

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2} - 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 4) y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.10

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 4) y y'$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 4) y y'$

Étape 2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 4 y) y'$

Étape 2.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Étape 2.11.4

Associez des termes.

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Étape 2.11.4.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Étape 2.11.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Étape 2.11.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Étape 2.11.4.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Étape 2.11.4.5

Additionnez $y^{3} (2 y')$ et $2 y^{3} y'$ .

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Étape 2.11.4.5.1

Remettez dans l’ordre $y^{3}$ et $2$ .

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Étape 2.11.4.5.2

Additionnez $2 \cdot y^{3} y'$ et $2 y^{3} y'$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{3} + (x^{2} - 5) (2 x)$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 5$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 5) x$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 5) x$

Étape 3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 5 x$

Étape 3.7.3

Associez des termes.

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Étape 3.7.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 5 x$

Étape 3.7.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 5 x$

Étape 3.7.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 5 x$

Étape 3.7.3.4

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 10 x$

Étape 3.7.3.5

Additionnez $2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Étape 5.1.2

Factorisez $4 y y'$ à partir de $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 10 x$

Étape 5.1.3

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ par $4 y (y^{2} - 2)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ par $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 2$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Étape 5.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Étape 5.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$