Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{4} - 3 x^{3} - 1}}{1 x^{2} + 2}$

Étape 1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{4} - 3 x^{3} - 1}}{x^{2} + 2}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 3 x^{3} - 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - 3 x^{3} - 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 3 x^{3} - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 3 x^{3} - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2}$

Étape 11

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} - 3 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} - 3 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 1}}{8^{2} + 2}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{\sqrt{4096 - 3 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 1}}{8^{2} + 2}$

Étape 13.1.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{4096 - 3 \cdot 512 - 1 \cdot 1}}{8^{2} + 2}$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 3$ par $512$ .

$\frac{\sqrt{4096 - 1536 - 1 \cdot 1}}{8^{2} + 2}$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{4096 - 1536 - 1}}{8^{2} + 2}$

Étape 13.1.5

Soustrayez $1536$ de $4096$ .

$\frac{\sqrt{2560 - 1}}{8^{2} + 2}$

Étape 13.1.6

Soustrayez $1$ de $2560$ .

$\frac{\sqrt{2559}}{8^{2} + 2}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{2559}}{64 + 2}$

Étape 13.2.2

Additionnez $64$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2559}}{66}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2559}}{66}$

Forme décimale :

$0.76646302 \dots$