Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{x^{10} - 1}}{x^{8} - 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{10} - 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{10} - 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $10$ de $x^{10}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - lim_{x \to - 8} 1}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $8$ de $x^{8}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - lim_{x \to - 8} 1}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $10$ .

$\frac{\sqrt{1073741824 - 1 \cdot 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{1073741824 - 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Étape 10.1.3

Soustrayez $1$ de $1073741824$ .

$\frac{\sqrt{1073741823}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Étape 10.1.4

Réécrivez $1073741823$ comme $3^{2} \cdot 119304647$ .

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Étape 10.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $1073741823$ .

$\frac{\sqrt{9 (119304647)}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Étape 10.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 119304647}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Étape 10.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $8$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777216 - 1 \cdot 1}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777216 - 1}$

Étape 10.2.3

Soustrayez $1$ de $16777216$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777215}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $16777215$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{119304647}$ .

$\frac{3 (\sqrt{119304647})}{16777215}$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $16777215$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{3 \cdot 5592405}$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{3 \cdot 5592405}$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{119304647}}{5592405}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{119304647}}{5592405}$

Forme décimale :

$0.00195312 \dots$