Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{\sqrt{x^{4} - 1}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 3 x - 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Étape 7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - 1}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.1.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{128 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.1.3

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$\frac{128 - 24 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.1.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{128 - 24 - 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.1.5

Soustrayez $24$ de $128$ .

$\frac{104 - 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.1.6

Soustrayez $6$ de $104$ .

$\frac{98}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{98}{\sqrt{4096 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{98}{\sqrt{4096 - 1}}$

Étape 12.2.3

Soustrayez $1$ de $4096$ .

$\frac{98}{\sqrt{4095}}$

Étape 12.2.4

Réécrivez $4095$ comme $3^{2} \cdot 455$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1

Factorisez $9$ à partir de $4095$ .

$\frac{98}{\sqrt{9 (455)}}$

Étape 12.2.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{98}{\sqrt{3^{2} \cdot 455}}$

Étape 12.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{98}{3 \sqrt{455}}$

Étape 12.3

Multipliez $\frac{98}{3 \sqrt{455}}$ par $\frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$ .

$\frac{98}{3 \sqrt{455}} \cdot \frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$

Étape 12.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.4.1

Multipliez $\frac{98}{3 \sqrt{455}}$ par $\frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \sqrt{455} \sqrt{455}}$

Étape 12.4.2

Déplacez $\sqrt{455}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 (\sqrt{455} \sqrt{455})}$

Étape 12.4.3

Élevez $\sqrt{455}$ à la puissance $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 ({\sqrt{455}}^{1} \sqrt{455})}$

Étape 12.4.4

Élevez $\sqrt{455}$ à la puissance $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 ({\sqrt{455}}^{1} {\sqrt{455}}^{1})}$

Étape 12.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {\sqrt{455}}^{1 + 1}}$

Étape 12.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {\sqrt{455}}^{2}}$

Étape 12.4.7

Réécrivez ${\sqrt{455}}^{2}$ comme $455$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{455}$ comme $455^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {(455^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 12.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{1}}$

Étape 12.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455}$

Étape 12.5

Annulez le facteur commun à $98$ et $455$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.1

Factorisez $7$ à partir de $98 \sqrt{455}$ .

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{3 \cdot 455}$

Étape 12.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.2.1

Factorisez $7$ à partir de $3 \cdot 455$ .

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{7 (3 \cdot 65)}$

Étape 12.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{7 (3 \cdot 65)}$

Étape 12.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 \sqrt{455}}{3 \cdot 65}$

Étape 12.6

Multipliez $3$ par $65$ .

$\frac{14 \sqrt{455}}{195}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{14 \sqrt{455}}{195}$

Forme décimale :

$1.53143695 \dots$