Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x + 1})}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\frac{x}{x + 1})}^{x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Étape 2.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x + 1})}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1})}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8}{8 + 1})}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez $8 \cdot \ln (\frac{8}{8 + 1})$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 + 1})}^{8})}$

Étape 4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(\frac{8}{8 + 1})}^{8}$

Étape 4.3

Additionnez $8$ et $1$ .

${(\frac{8}{9})}^{8}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8^{8}}{9^{8}}$

Étape 4.5

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\frac{16777216}{9^{8}}$

Étape 4.6

Élevez $9$ à la puissance $8$ .

$\frac{16777216}{43046721}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{16777216}{43046721}$

Forme décimale :

$0.38974434 \dots$