Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 16}}{2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Étape 4

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Étape 9

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 12

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 64 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $9$ par $64$ .

$\frac{\sqrt{576 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Étape 14.1.3

Additionnez $576$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{592}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Étape 14.1.4

Réécrivez $592$ comme $4^{2} \cdot 37$ .

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Étape 14.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $592$ .

$\frac{\sqrt{16 (37)}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Étape 14.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Étape 14.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{512 + 1}}$

Étape 14.2.2

Additionnez $512$ et $1$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{513}}$

Étape 14.2.3

Réécrivez $513$ comme $3^{2} \cdot 57$ .

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Étape 14.2.3.1

Factorisez $9$ à partir de $513$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{9 (57)}}$

Étape 14.2.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{3^{2} \cdot 57}}$

Étape 14.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$

Étape 14.3

Multipliez $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ par $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$

Étape 14.4

Multipliez $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ par $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{(2 + 3 \sqrt{57}) (2 - 3 \sqrt{57})}$

Étape 14.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{4 - 6 \sqrt{57} + 6 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Étape 14.6

Simplifiez

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{- 509}$

Étape 14.7

Regroupez $2 - 3 \sqrt{57}$ et $\sqrt{37}$ .

$\frac{4 ((2 - 3 \sqrt{57}) \sqrt{37})}{- 509}$

Étape 14.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{57} \sqrt{37})}{- 509}$

Étape 14.9

Multipliez $- 3 \sqrt{57} \sqrt{37}$ .

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Étape 14.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{37 \cdot 57})}{- 509}$

Étape 14.9.2

Multipliez $37$ par $57$ .

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{- 509}$

Étape 14.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Forme décimale :

$0.98708074 \dots$