Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{1}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez $\cos (θ)$ par $1$ .

$lim_{θ \to 0} \cos (θ)$

Étape 4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{θ \to 0} θ)$

Étape 5

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\cos (0)$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$