Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{4} - x^{2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 3 x + 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + lim_{x \to - 8} 3 x + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 3 x + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 3 x + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - lim_{x \to - 8} x^{2}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + 1}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - lim_{x \to - 8} x^{2}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + 1}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + 1}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 3 \cdot - 8 + 1}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 3 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Étape 10.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 3 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 + 3 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Étape 11.1.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{128 + 3 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Étape 11.1.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$\frac{128 - 24 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Étape 11.1.4

Soustrayez $24$ de $128$ .

$\frac{104 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Étape 11.1.5

Additionnez $104$ et $1$ .

$\frac{105}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$\frac{105}{4096 - {(- 8)}^{2}}$

Étape 11.2.2

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\frac{105}{4096 - 1 \cdot 64}$

Étape 11.2.3

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$\frac{105}{4096 - 64}$

Étape 11.2.4

Soustrayez $64$ de $4096$ .

$\frac{105}{4032}$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun à $105$ et $4032$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $21$ à partir de $105$ .

$\frac{21 (5)}{4032}$

Étape 11.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.2.1

Factorisez $21$ à partir de $4032$ .

$\frac{21 \cdot 5}{21 \cdot 192}$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{21 \cdot 5}{21 \cdot 192}$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{192}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{192}$

Forme décimale :

$0.026041\overline{6}$